التوزيع الطبيعي ( ثاني عشر علمي )

التوزيع الطبيعي

تمهيد للموضوع

نطلب من الطلاب أن يغمضوا أعينهم ونسأل ما يلي:
تخيل نفسك وجميع الناس أقزام... كيف الحياة حلوة ؟؟؟؟
الأن تخيل نفسك وجميع الناس عمالقة .. كيف ؟؟؟
ارجع للواقع .. سترى اية من ايات الله سبحانة وتعالى في خلق الناس ونعمة من نعمة التي لا تعد ولا تحصى .
حيث نلاحظ أن معظم الصفات البشرية الجسمية والعقلية تتوزع بحيث تكون الغالبية في الوسط وتقل النسب كلما ابتعدنا عن الوسط بصورة متماثلة في كل من الاتجاهين...

ولو رسمنا منحنى التوزيع لهذة الصفات في مجتمع كبير لحصلنا على الشكل التالي:
والذي يسمى منحنى
التوزيع الطبيعي
أو المعتدل أو السوي ولقد سمي
طبيعيا لأن هذه الظواهر
ظواهر موجودة في الطبيعة.

فيما يلي بعض النقاط الهامة والمتعلقة بمنحنى التوزيع الطبيعي

تعريفه هو أحد صور التوزيعات التكرارية ويمتاز بأنه متماثل حول الوسط الحسابي ويأخذ المنحنى المرسوم منه شكل الجرس
أمثله عليه الأطوال ، الاوزان, الحجوم , الزمن , المسافات, درجات الحرارة الأسعار , معدلات الذكاء
اكتشافه يرجع اكتشافه إلى أعمال مجموعة من علماء الرياضيات منهم دي لوفير ولا بلاس وجاوس خلال القرنين الثامن عشر والتاسع عشر
أهميته دراسة وتحليل الظواهر الاحصائية المختلفة وعلى الخصوص في ايجاد احتمال تحقق أي حادثة كما أنه هام جدا في النواحي الاقتصادية ونواحي إدارة الأعمال.

خواصه 1- شكله يشبه الجرس متماثل حول الوسط الحسابي.
2- قيم س الممكنه هي - ∞ إلى ∞
3- تتساوى قيمة الوسط الحسابي مع الوسيط مع المنوال
4- يمتد طرفاه إلى ما لا نهايه ولا يمس المحور السيني ولا يقطعه أبدا
5- يتحدد شكل المنحنى بمعرفة تماما بمعرفة الوسط الحسابي والانحراف المعياري.
6- إن جملة المساحة تحت المنحنى الطبيعي تساوي واحدا صحيحا إذا تم النظر إليها من وجهة نظر مجموع التكرارات النسبية. حيث على يمين و نصف المساحة وعلىيساره النصف الثاني.
7-

ملاحظة:
1- المقصود بالتكرار النسبي للفئة : هو تكرار الفئة مقسوما على مجموع التكرارات والجواب مضروب في 100 والجدير بالذكر أن مجموع التكرارات النسبية لجدول تكراري يساوي 100 % أي واحد صحيح.

2- شرح الخاصية رقم 5 من الجدول السابق:


أ‌- إذا تغير الوسط الحسابي وبقي
الانحراف المعياري ثابتا فإن
مننحنى التوزيع يتغير يمينا أو
يسارا ولكن شكل التوزيع لا
يتغير.






ب - إذا تغير الانحراف المعياري
وبقي الوسط الحسابي ثابتا فإن
تشتت وتباعد المنحنى حول المركز
يقل كلما صغرت قيمة ع ويزيد
كلما كبرت






ج- إذا تغيرت قمة كلا من ع
والوسط الحسابي و
فإن مركز التوزيع يتغير
وتباعد منحناه حول المركز
يتغير كذلك.







 مناقشة مثال 1 ص 119









التوزيع الطبيعي المعياري

تمهيد مقترح

طرح أسئلة تتضمن حساب الاحتمال عندما تكون طول الفترة ليست من مضاعفات الانحراف المعياري
الجواب
لحل مثل هذه المسائل صممت جداول خاصة لحساب المساحات سميت جداول التوزيع الطبيعي للمساحات .
ولأن لكل زوج ( و,ع ) منحنى مختلف وبالتالي سنحتاج بهذه الطريقة للعديد والعديد والعديد من الجداول صممت جداول خاصة لمنحنى طبيعي واحد وسطه و = صفر وانحرافه المعياري = 1 سمي منحنى التوزيع الطبيعي المعياري . ويرمز للمتغير العشوائي في هذا التوزيع بالرمز ز

 مناقشة تدريب 1 ص 120

فوائد جداول التوزيع الطبيعي للمساحة

 صممت هذه الجداول لتعمل على تخفيف عناء مساحة معينة تحت منحنى التوزيع الطبيعي المياري.
 صممت هذه الجداول فقط للقيم المعيارية الموجبة

ملاحظة هامة:

 صممت جداول التوزيع الطبيعي للمساحات الواردة في الكتاب المدرسي لإيجاد المساحة يسار قيم ز الموجبة
 لإيجاد المساحة يمين قيم ز الموجبة أوعلى يسار أو يمين قيم ز السالبة نستخدم خواص التوزيع الطبيعي المعياري ومن ثم نستعين بجداول المساحات المعطى.




كيفية استخراج المساحات باستخدام جداول التوزيع الطبيعي للمساحات

الحالة الأولى: الحالة القياسية (الجدولية)
كيفية تعيين المساحة الواقعة
يسار قيم ز الموجبة
الجواب: بغايةالسهولة وهو
نستخرج المساحة من الجدول مباشرة

مثال:
إذا كان ز متغيرا طبيعيا معياريا فأوجد ما يلي:
1- ل ( ز< 5 ‚1)
2- ل ( ز< 3 )
الحل:
1- من الجدول مباشرة ل ( ز< 5 ‚1) = 9332 ‚
2- من الجدول مباشرة ل ( ز< 3 ) = 9987 ‚


الحالة الثانية: المساحة الواقعة يمين قيم ز الموجبة
س:كيف نعين المساحة الواقعة
يمين قيم ز الموجبة؟؟؟







الجواب:
في هذه الحالة لا نستطيع حساب المساحة الواقعة يمين قيم ز الموجبة من الجدول مباشرة ولكن نستخدم القاعدة التالية:
المساحة يمين قيمة ز الموجبة = 1- المساحة يسار قيمة ز الموجبة.


مثال:
إذ1 كان ز متغير طبيعي معياري فأوجد ما يلي:
1- ل ( ز > 5‚1)
2- ل ( ز < 3 )
الحل:
1- أولا نرسم رسم كروكي لتحديد المساحة المطلوبة
ل ( ز > 5‚1) = ا- المساحة يسار ز= 5‚1
= 1- 9332 ‚ = 8 660 ‚


2- نرسم رسم كروكي للشكل لتحديد المساحة المطلوبة
ل ( ز < 3 ) = ا – المساحة يسار ز = 3
= ا- 9987 ‚ = 0013 ‚


الحالة الثالثة: 9987 ‚المساحة الواقعة يسار قيم ز السالبة

س: كيف نحسب المساحة الواقعة يسار قيم ز السالبة








الجواب:
المساحة يسار قيمة ز السالبة = المساحة يمين قيمة ز الموجبة
= ا- المساحة يسار قيمة ز الموجبة




مثال: إذا كان ز متغيرا طبيعيا معياريا فأوجد ما يلي:
1- ل ( ز<- 5 ‚1)
2- ل ( ز< - 3 )

الحل:
1- ل ( ز<- 5 ‚1) = ا- المساحة يسار ز= 5‚1
= 1- 9332 ‚ = 8 660 ‚



2- ل ( ز< - 3 ) = ا – المساحة يسار ز = 3
= ا- 9987 ‚ = 0013 ‚



الحالة الرابعة: المساحة يمين قيم ز السالبة
س: كيف نحسب المساحة يمين قيم ز السالبة؟؟





الجواب:
المساحة يمين قيمة ز السالبة= المساحة يسار قيمة ز الموجبة
تستخرج من الجدول مباشرة

مثال:
إذا كان ز متغيرا طبيعيا معياريا فأوجد ما يلي:

1- ل ( ز >- 5 ‚1)
2- ل ( ز > - 3 )



الحل:
1- من الجدول مباشرة ل ( ز>- 5 ‚1) = 9332 ‚
2- من الجدول مباشرة ل ( ز> - 3 ) = 9987 ‚


ملاحظة هامة:
• طريقة إيجاد المساحة يسار قيمة ز الموجبة هي نفسها طريقة إيجاد المساحة الواقعة يمين قيمة ز السالبة
وهي في الحالتين (تستخرج المساحة المناظرة لقيمة ز الموجبة من الجدول مباشرة)

• طريقة إيجاد المساحة يمين قيمة ز الموجبة هي نفسها طريقة إيجاد المساحة الواقعة يسار قيمة ز السالبة

وهي في الحالتين:
(1- المساحة يسار قيمة ز الموجبة)

الحالة الخامسة :المساحة المحصورة بين قيمتي زسواء
قيمتين موجبتين , قيمتين سالبتين , قيمة موجبة وأخرى سالبة










في كل من الحالات السابقة :
المساحة المطلوبة = المساحة يسار قيمة ز1 - المساحة يسار قيمة ز 2


مثال: إذا كان ز متغيرا طبيعيا معياريا فأوجد ما يلي:
1- ل (1 < ز < 2 )
2- ل (-2< ز < -3 )
3- ل(- 5 ‚2 < ز < 5 ‚1)

الحل:
1- ل (1 < ز < 2 )
= المساحة يسار ز=2 – المساحة يسار ز= 1
=9772 ‚ - 8413 ‚ = 1359,


2- ل (-2< ز < -3 ) =
المساحة يسار ز= -3 – المساحة يسار ز=-2
المساحة يسار ز= -3
=1 – المساحة يسار ز=3
=1- 9987 ‚ =0013 ‚
المساحة يسار ز=-2
= 1- المساحة يسار ز=2
= 1- 9772 ‚ = 0228 ‚

إذن ل (-2< ز < -3 ) = 0228 ‚ - 0013 ‚
=0215 ‚










3- ل (- 5 ‚2 < ز < 5 ‚1)






= المساحة يسار ز= 5 ‚1 – المساحة يسار ز= - 5 ‚2
المساحة يسار ز= 5 ‚1 = 9332 ‚ من الجدول مباشرة
المساحة يسار ز= - 5 ‚2
= 1- المساحة يسار ز= 5 ‚2
= 1- 9938 ‚ =0062 ‚

إذن ل (- 5 ‚2 < ز < 5 ‚1) = 9332 ‚ - 0062 ‚
= 9270 ‚


















ايجاد الاحتمالات لمتغير طبيعي غير معياري

لما كانت جداول المساحات مصممة للمنحنى الطبيعي المعياري فإنه لا يمكن استخدام هذه الجداول مباشرة إلا بعد تحويل قيمة التوزيع المراد استخدام الجداول له إلى قيم معيارية مشابهة:
ويمكن تلخيص خطوات
ايجاد الاحتمالات لمتغير طبيعي غير معياري إلى ما يلي:

1- نحول المتغير الطبيعي غير المعياري س إلى متغير طبيعي معياري ز بإستخدام المعادلة الأتية:
ز = س - و / ع
ملاحظة هامة: قيم الدرجة المعيارية واقعة بين -4 ≤ ز ≤ 4 وأي قيمة تزيد عن هذا الحد فيكون هناك خطأ حسابي

2- نلجأ إلى جداول المساحات كما ورد سابقا .

 مناقشة تمارين ومسائل 4 (1 ,2 ,3 ,4 )

1- تقدم 500 شاب لإدارة التجنيد فإذا كانت أطوالهم تتبع توزيع طبيعي بمتوسط 170 سم وتباين قدرة 64 سم فأوجد:
أ‌- عدد الشباب الذين أطوالهم أقل من 160 سم
ب- عدد الشباب غير المقبولين للتجنيد إذا كان الحد الادنى للطول 156 سم؟
الحل:
أ- ل( ز < ( 160 – 170 ) /8 ) = ل ( ز <25 ‚1 )
= 8944 ‚
عدد الشباب الذين تقل أطوالهم عن 160 سم = الاحتمال × العدد الكلي لهم
= 8944 ‚ × 500 = 447 شاب

ب‌- ل ( ط > 156 ) = ل ( ز> 1 ) = 1- المساحة يسار ز=1
= 1- 8413 ‚ = 1587 ‚
العدد = 500 ×1587 ‚= 79 شاب


ملاحظة هامة:
عند حل التطبيقات الحياتية على منحنى التوزيع الطبيعي يفضل إعطاء الطلاب القواعد الأتية:




























كيفية استخراج العلامة المعيارية ( ز ) إذا علمت المساحة

يمكن تلخيص خطوات استخراج العلامة المعيارية ( ز ) إذا علمت المساحة إلى ما يلي:
1- تحديد إشارة ز( موجبة أم سالبة ) من خلال الرسم التوضيحي للمساحة المعطاة في المسالة .
2- كتابة خطوات إيجاد المساحة المعطاة (الاحتمال ) بمعنى كيف تم الحصول على هذه المساحة بمعلومية المساحة يسار قيم ز الموجبة كما مر معنا سابقا.
3- من الجدول بالعكس نجد قيمة ز مع ملاحظة أننا سنجد إحدى الحالات الثلاث الاتية :

المساحة المعطاة كيفية إيجاد قيمة ز (الموجبة)
موجودة بالضبط في الجدول القيمة المقابلة لهذه المساحة
غير موجودة في الجدول ولكنها قريبة جدا من مساحة موجودة بالجدول نأخذ قمة ز المقابلة للمساحة القريبة جدا من المساحة المعطاة
غير موجودة في الجدول ولكنها موجودة بين مساحتين في الجدول تكون قيمة ز هي المتوسط الحسابي لقيمتي ز المقابلة للمساحتين الموجودة بينهما المساحة المعطاة


 مناقشة مثال رقم 4 ص 123
 مناقشة رقم 3 ( ج ) ص 1









تمارين ومسائل:

2- إذا كان س متغيرعشوائي يمثل توزيع أوزان قطيع من الخراف وسطه الحسابي = 27 كغم وانحرافه المعياري 5 كغم فإذا علم أنه لا يسمح بذبح أي من هذه الخراف إلا بعد أن تبلغ وزن معين .
فعين هذا الوزن إذا علم أن 2 ‚ 24% من هذه الخراف غير مسموح
بذبحها؟؟؟

الحل:
نفرض أن س متغير عشوائي يمثل وزن الخراف
ل ( ز< س – 27 ) = 242 ‚
5
 من الرسم قيمة ز سالبة
ل ( ز< س – 27 ) = 1- المساحة يسار- (س- 27 ) =242 ‚
5 5
المساحة يسار- ( س- 27 ) = 1- 242 ‚ = 758 ‚
5
 من الجدول – (س- 27 ) = 7 ‚
5

- س + 27 = 5 × 7 ‚
س = 27 – 5 ‚3 = 5 ‚23
أقل وزن لذبح الخروف هو 5 ‚23 ( يعني أي خروف وزنه 5 ‚23 أو أكثر رحمة الله عليه )











2- وجد أن أطوال نوع معين من النبات تكون موزعه توزيع طبيعي بمتوسط 60 سم وانحراف ع فإذا علم أن أطوال22‚ 1% من هذا النبات أقل من 51 سم , أوجد التباين لتوزيع أطوال هذا النبات؟؟؟

الحل:
ل (ط < 51 ) = 0122 ‚
ل ( ز < 51 – 60 ) = 0122 ‚
ع

 من الرسم ز سالبة
ل (ز < 51 – 60 ) = 1- المساحة يسار - (51 – 60 ) / ع
ع = 0122 ‚
المساحة يسار - (51 – 60 ) / ع = 1- 0122 ‚ = 9878 ‚
من الجدول بالعكس - (51 – 60 ) / ع = 25 ‚ 2
ع = 9 / 25 ‚2 = 4
 التباين = 16
















3- يذهب أبو علي إلى عمله باستخدام أحد طريقين أ , ب ,ويتبع الوقت الذي يستخدمه في الطريق الاول توزيع طبيعي وسطه الحسابي 5 ‚ ساعه وانحراف معياري 5 دقائق والطريق الثاني بمتوسط حسابي 31 دقيقة وانحراف معياري قدره دقيقتين . فأي الطريقين افضل إذا كان:
لديه 32 دقيقة على الاكثر ليصل إالى عمله؟؟

الحل:
ل (ن < 32 ) = ل ( ز < (32 -30 ) /5 ) = ل ( ز <